Penerapan Turunan : Kemonotonan, Interval Fungsi Naik/Turun, Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2 

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik fberada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik fberada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik fakan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik fcekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik fcekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai xtersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Uji Turunan Kedua

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

1. Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

Soal Pilihan Ganda 

1. Tentukan interval-interval 

$f\left(x\right)=x^3-6x^2-2x+1$ cekung ke atas dan cekung ke bawah!
a. cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

b. cekung ke atas pada interval x > 4 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

c. cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 4.

d. cekung ke atas pada interval x > 4dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 6.

e. cekung ke atas pada interval x > 6 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Pembahasan 
f '(x) =  3x² − 12x

f ''(x) = 6x − 12

f(x) cekung ke atas ⇒ f ''(x) > 0
6x − 12 > 0
x > 2

f(x) cekung ke bawah ⇒ f ''(x) < 0
6x − 12 < 0
x < 2

Jadi f(x) cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Jawaban : A

2. Jika y = x⁴ - 1/x maka y'' = ...

A. 12x² - 2/x³
B. 12x² - 2/x²
C. 12x² - 2x³
D. 10x² - 2/x³
E. 2x² - 2/x³

Pembahasan : 
Tentukan turunan pertama:
y' = 4x³ - (- x^{(- 1 - 1)} = 4x³ + x^-2
Turunkan lagi turunan pertama
y'' = 4.3x² + (-2 x^{(- 2 - 1)} )  = 12x² - 2x^{- 3} = 12x² - 2/x³
Jawaban: A