Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2

Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan 

1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya 

$(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan : 

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

2. Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam 

$x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan : 

Misalkan f(x)menyatakan biaya proyek selama x hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

3. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam 

$x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$  

Pembahasan : 

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$
(Jawaban C)

4. Biaya untuk memproduksi 

$x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan : 

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan $$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

5. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling 

$(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$        

Pembahasan : 

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)

6. Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume ${\text{108 cm}}^3$, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $3$                       C. $6$                   E. $12$
B. $4$                       D. $8$ 

Pembahasan : 

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{array}{cc}V& =108\\ x\cdot x\cdot t& =108\\ x^2\cdot t& =108\\ t& =\frac{108}{x^2}\end{array}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =4(x\cdot t)+(x\cdot x)\\ & =4xt+x^2\\ & =4x\left(\frac{108}{x^2}\right)+x^2\\ & =432x^{-1}+x^2\end{array}$
Luas permukaan akan minimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -432x^{-2}+2x& =0\\ 2x& =432x^{-2}\\ x^3& =216\\ x& =\sqrt[3]{3216}=6\end{array}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $6\text{cm}$
(Jawaban C)

7. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi 

$h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

Pembahasan : 

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

8. Dari kawat yang panjangnya 

$500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan 75

Pembahasan : 

Misalkan $p=25\text{meter}$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{cc}V\left(t\right)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(t\right)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

9. Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas 

$96{\text{cm}}^2$ dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
A. $54{\text{cm}}^3$                          D. $84{\text{cm}}^3$
B. $64{\text{cm}}^3$                          E. $94{\text{cm}}^3$
C. $74{\text{cm}}^3$

Pembahasan : 

Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =2(pl+pt+lt)\\ 96& =2(x^2+tx+tx)\\ 48& =x^2+2tx\\ 2tx& =48-x^2\\ t& =\frac{48-x^2}{2x}\end{array}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =p\times l\times t\\ V\left(x\right)& =x\times x\times \frac{48-x^2}{2x}\\ V\left(x\right)& =24x–\frac{1}{2}{x}^3\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 24-\frac{3}{2}{x}^2& =0\\ \frac{3}{2}{x}^2& =24\\ x^2& =24\times \frac{2}{3}=16\\ x& =4\end{array}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$V\left(4\right)=24\left(4\right)-\frac{1}{2}(4{)}^3=96-32=64{\text{cm}}^3$
(Jawaban B)

10. Total penjualan suatu barang 

$\left(k\right)$ merupakan perkalian antara harga $\left(p\right)$ dan permintaan $\left(x\right)$ yang dinyatakan dengan $k=px$. Untuk $p=90-3x$ dalam jutaan rupiah dan $1\le x\le 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan : 

Diberikan $k=px$. Untuk $p=90-3x$, diperoleh
$k=(90-3x)x=-3x^2+90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\frac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}x}& =-6x+90\\ 0& =-6x+90\\ 6x& =90\\ x& =15\end{array}$
Nilai $x=15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k=-3x^2+90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}}=-3(15{)}^2+90(15)=675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)