Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan Pertama dan Turunan Kedua

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2 

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi menggunakan turunan :

1. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y)

    Titik potong sumbu x, subsitusi y = 0

    Titik potong sumbu y, subsitusi x = 0

2. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimun, titik balik maksimum 

    dan titik belok)

3. Menentukan titik bantuan lainnya agar membuat grafiknya lebih mudah atau bisa juga

   secara umum menentukan nilai y untuk  besar x positif dan  besar x negatif.

Contoh soal :

1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3

 Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi y=0

y=0 y=0→y 0=3x2−x3

3x2−x3=0

x2(3−x)

x=0 ∨ x =3

 Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0).

*). Tipot sumbu Y, substitusi x=0

 y=3x2−x3 = 3.02−03 = 0y = 3x2−x3 = 3.02−03 = 0

 Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

 ii). Menentukan titik-titik stasioner,

 Fungsi : y=3x2−x3 f′(x)=6x−3x2f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x

 *). Syarat stasioner : f′(x)=0

f′(x)=0 6x−3x2=0

3x(2−x)=0

x=0 v x =2

Untuk x=0x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0 titik stasionernya (0,0) . Untuk x=2x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4 titik stasionernya (2,4).

 *). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6xf′′(x)=6−6x Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum. Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.

 iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3,y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai xx yaitu : Untuk xx semakin besar, nilai yy semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk xxsemakin kecil, nilai yy semakin besar positif (ke atas).

2. Gambarkan grafik berikut dengan menggunakan konsep turunan.
Titik stasioner diperoleh berada di titik (1, -1) sebagai berikut:
Interval naik atau turun pada fungsi:
Pada fungsi tidak terdapat titik belok karena 2 tidak sama dengan nol, sepertii berikut:Titik optimum berada di titik (1, -1) dengan melakukan uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi, , dimana f''(x)=2>0. Sehingga grafik fungsi dengan konsep turunan pada soal dapat kita gambarkan seperti di bawah ini:


Soal Pilihan Ganda1. Misalkan $h\left(x\right)=5+\left(f\right(x){)}^2$ dengan grafik $f\left(x\right)$ diberikan pada gambar di bawah. Nilai $h^{\prime }\left(0\right)=\cdots \cdot$

A. $-16$                C. $-5$                E. $-\frac{1}{3}$

B. $-7$                  D. $-\frac{4}{3}$

pembahasan : 

Diketahui $h\left(x\right)=5+\left(f\right(x){)}^2$.
Turunan pertama $h\left(x\right)$ dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai.
$h^{\prime }\left(x\right)=0+2f\left(x\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)=2f\left(x\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)$
Jika $x=0$, diperoleh
$h^{\prime }\left(0\right)=2f\left(0\right)\cdot f^{\prime }\left(0\right)$
Nilai fungsi $f$ saat $x=0$ adalah $f\left(0\right)=2$ (lihat grafik).
$f^{\prime }\left(0\right)$ menyatakan gradien garis singgung $f\left(x\right)$ di titik $x=0$. Tampak pada grafik bahwa garis singgung $f\left(x\right)$ di titik tersebut melalui $(-1,6)$ dan $(0,2)$ sehingga gradiennya adalah $f^{\prime }\left(0\right)=m=\frac{6-2}{-1-0}=-4$.
Untuk itu,
$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }\left(0\right)& =2f\left(0\right)\cdot f^{\prime }\left(0\right)\\ & =2\left(2\right)(-4)=-16\end{array}$
Jadi, nilai dari $h^{\prime }\left(0\right)=-16$
(Jawaban A)

2. Diketahui grafik kurva y = f (x)

$y=f(x)$seperti pada gambar di bawah.

Jika $h\left(x\right)=(f\circ f)\left(x\right)$ dan $h^{\prime }\left(x\right)$ menyatakan turunan pertama dari $h\left(x\right)$, maka nilai $h^{\prime }(-2)=\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $0$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $1$

Pembahasan : 

Berdasarkan grafik $f\left(x\right)$, tampak bahwa $f(-2)=-2$.
Di titik $(-2,-2)$, terdapat garis singgung dengan kemiringan (gradien) $m=\frac{-2}{2}=-1$. Ini berarti $f^{\prime }(-2)=-1$ karena turunan pertama fungsi di suatu titik merupakan gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.
Oleh karena itu, berdasarkan Aturan Rantai, kita peroleh
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =(f\circ f)\left(x\right)=f\left(f\right(x\left)\right)\\ ⟹h^{\prime }\left(x\right)& =f^{\prime }\left(f\right(x\left)\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)\\ h^{\prime }(-2)& =f^{\prime }\left(f\right(-2\left)\right)\cdot f^{\prime }(-2)\\ & =f^{\prime }(-2)\cdot f^{\prime }(-2)\\ & =-1\cdot (-1)=1\end{array}$
Jadi, nilai dari $h^{\prime }(-2)=1$
(Jawaban D)

3. Perhatikan grafik fungsi 

$f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berikut.

Apabila $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$, maka nilai dari $h^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$

A. $-6$                    C. $-2$                  E. $2$
B. $-3$                    D. $1$

Pembahasan :

Grafik fungsi $f\left(x\right)$ yang memuat $x=1$ adalah garis lurus yang melalui titik $(0,8)$ dan $(4,0)$. Persamaan garisnya adalah
$\begin{array}{cc}8x+4y& =8\cdot 4\\ 2x+y& =8\\ f\left(x\right)& =y=-2x+8\end{array}$
Untuk $x=1$, diperoleh $f\left(1\right)=-2\left(1\right)+8=6$.
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah
$f^{\prime }\left(x\right)=-2$ sehingga $f^{\prime }\left(1\right)=-2$.
Grafik fungsi $g\left(x\right)$ yang memuat $x=1$ adalah garis lurus yang melalui titik $(0,0)$ dan $(6,8)$. Persamaan garisnya adalah
$g\left(x\right)=y=\frac{8}{6}x=\frac{4}{3}x$
Untuk $x=1$, diperoleh $g\left(1\right)=\frac{4}{3}$.
Turunan pertama $g\left(x\right)$ adalah
$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{4}{3}$ sehingga $g^{\prime }\left(1\right)=\frac{4}{3}$.
Diketahui $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Dengan menggunakan aturan hasil bagi, diperoleh turunan pertama $h\left(x\right)$, yaitu
$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)}{\left(g\right(x){)}^2}$
Substitusi $x=1$.
$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }\left(1\right)& =\frac{f^{\prime }\left(1\right)\cdot g\left(1\right)-f\left(1\right)\cdot g^{\prime }\left(1\right)}{\left(g\right(1){)}^2}\\ & =\frac{-2\cdot \frac{4}{3}-6\cdot \frac{4}{3}}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}\\ & =\frac{-\frac{8}{3}-8}{\frac{16}{9}}\\ & =-\frac{{32}^2}{3}\cdot \frac{9^3}{16}\\ & =-2\cdot 3=-6\end{array}$
Jadi, nilai dari $h^{\prime }\left(1\right)=-6$
(Jawaban A)