Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2 

Nilai Stasioner 

Pengertian Nilai Stasioner Fungsi
Gambar 1. merupakan grafik fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4. Turunan pertama dari fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4 adalah f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)² + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner f(1) = – (1 – 1)² + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik stasioner.

Gambar 1. grafik fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4.

Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.
Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.

Definisi 1 :
Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.

Contoh Soal 1 :
Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x² – 6x + 5.

a. 3

b. 6

c. 10

d. 2

e. 4

Pembahasan :
a. f(x) = 3x² – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6
Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga :
f '(x) = 0
6x – 6 = 0
x = 1.

f(1) = 3.1² – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x² – 6x + 5 adalah f(1) = 2

D. 2 

Fungsi Naik dan Turun 

Contoh Soal : 

1. Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = x2 — 8x — 9 naik

a. x > 2

b. x < 3

c. x > 4 

d. x > 6

e. x > 10 

Jawab :
Agar naik maka f'(x) > 0
2x — 8 > 0
x > 4 (C)

2. Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = -2x2 + 12x — 5 turun

a. x > 2

b. x > 3

c. x > 4 

d. x > 6

e. x > 10 

Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
-4x + 12 < 0
-4x < -12
x > 3 (B) 

 

3. Fungsi f(x) = x3 — 9x2 + 15x — 17 akan naik pada interval ….

a. x < 1 atau x > 5 

b. x < 5 atau x > 1 

c. x > 1 atau x < 5 

d. x > 3 atau x < 6 

e. x < 6 atau x < 3 

Jawab :
Syarat fungsi naiuk adalah f'(x) > 0
3x2 — 18x + 15 > 0
x2 — 6x + 5 > 0
(x -1)(x — 5) > 0

x < 1 atau x > 5 (A) 

 

4. Nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x4 — 18x2 turun adalah …

a. x < -3 atau 0 < x < 3

b. x < 3 atau 0 < x < -3 

c. x > -3 atau 0 < x < 3 

d. x > 3 atau 0 < x < 1

e. x < -1 atau 0 < x < 3 
Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
4x2 — 36x < 0
x3 — 9x < 0
x(x2-9) < 0
x(x — 3)(x + 3) < 0

x < -3 atau 0 < x < 3 (A) 

 

5. Nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = -x3 + 6x2 + 36x tidak turun adalah

a. 6 < x < 2 

b. -2 < x > 6 

c. -1 < x > 3

d. -3 < x < 1

e. -2 ≤ x ≤ 6
Jawab :
Agar tidak turun maka f'(x) ≥ 0
-3x2 + 12x + 36 ≥ 0
x2 — 4x — 12 ≤ 0
(x-6)(x+2) ≤ 0

-2 ≤ x ≤ 6 (E)