Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum
dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh
dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam
persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi
objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan
sistem pertidaksamaan linear.
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam
kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika.
Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi
matematika.
Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu
menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr
bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri
dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan
pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00
dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk
tabel menjadi berikut:
Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:
- Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
- Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
- Masing-masing model harus terbuat.
Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:
Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y
Syarat:
- 200x + 180y ≤ 72.000
- 150x + 170y ≤ 64.000
- x ≥ 0
- y ≥ 0
- Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
- Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
- Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
- Menggunakan garis selidik
- Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
- langkah 1 menggambar grafik nya
- Langkah 2 menentukan titik ekstrim
- Langkah 3 menyelidiki nilai optimum
Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.
Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18
Contoh Soal 2
Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!
Pembahasan 2:
Titik ekstrim pada gambar adalah:
- A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
- B(3, 6)
- C(8, 2)
- D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim adalah:
- B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42
- C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42
- D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32
Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.
Contoh Soal 3
Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.
Pembahasan 3:
Diketahui:
Dengan syarat:
- Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
- Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 5x + 2y \le 1.250
- x ≥ 0
- y ≥ 0
Diagramnya:
Titik ekstrim:
- A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
- C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
- B(x_B, y_B) dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:
Sehingga jumlah masimum:
- Apel: 150 kg
- Pisang: 250 kg
Contoh Soal 4 :
Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. tahun
A. 86
B. 74
C. 68
D. 64
E. 58
Jawaban : C
Pembahasan :
Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z
x = 28 + y (1)
z = x – 6; atau x=z+6 (2)
x + y + z = 119 (3)
dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan
2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34 (4)
Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau
x + y + z = 119
2x – y – z = 34
3x =153
Atau
x = 51
Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan
Y = 23; z = 45
Sehingga
jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y+z=23+45=68
2. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
5x + y ≥ 10
2x + y ≤ 8
y ≥ 2
ditunjukkan oleh daerah . . .
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
Jawaban : C
Contoh Soal 5
Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.
Pembahasan
Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.
Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300
Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60
Fungsi kuantitas = x + y = 30
Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.
Contoh Soal 6
Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya
Pembahasan
Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.
Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000
Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40
Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20
Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12
Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.
3. Diketahui sebuah persamaan x + y = 10 dan diberikan sebuah fungsi seperti di bawah ini
{(x,y)| x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}
Contoh Soal 7
Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10
Pembahasan
Pertama, kita harus menuliskan semua fungsi yang ada secara benar seperti contoh di bawah ini.
x ≥ 0
y ≥ 0
2x + 3y ≤ 8
3x + 2y ≤ a
Kemudian, lakukan penjumlahan dari dua fungsi di atas.
2x + 3y ≤ 8
3x + 2y ≤ a +
5x + 5y ≤ 8 + a
5 (x + y) ≤ 8 + a
5 (10) ≤ 8 + a
50 – 8 ≤ a
42 ≤ a
Sehingga, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimum x + y = 10.
Contoh Soal 8
Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.
Pembahasan
Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.
Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400
Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250
x ≤ 0 ; y ≤ 0
Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.
· Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur
· Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan
· Titik 2 ( xb, yb ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.
5x + 2y ≤ 1250
x + y ≤ 400 |x2 –
5x + 2y ≤ 1250
2x + 2y ≤ 800 –
3x ≤ 450
Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.
daftar pusaka:
https://www.studiobelajar.com/program-linear/
https://rumuspintar.com/program-linear/
Tidak ada komentar:
Posting Komentar