Nama : Ahista Larian Ibra Gavini
Kelas : XI IPS 2
Absen : 2
Pembuktian : Langsung, Tidak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika
Pembuktian Langsung
1) Kontraposisi
Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p
Contoh : Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.
Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan
kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah
bilangan ganjil.
2) Kontradiksi
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh Soal :
1. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat ganjil,
q : n² bilangan bulat ganjil
Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat ganjil,
∼ q : n² bilangan bulat genap.
Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1, Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat genap. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
2. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat genap,
q : n² bilangan bulat genap
Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat genap,
∼ q : n² bilangan bulat ganjil.
Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k)² = 4k² = 2 (2k²), Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.
Contoh
Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.
Jawab
Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama”
Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari. Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu.
Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari. Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p (r -r).
Artinya p bernilai benar
Induksi Matematika
Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli.
Dalam pembuktian induksi matematika, ada 3 langkah yang ditempuh:
a. membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1
b. mengasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k
c. membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1
Contoh 1 :
buktikan dengan induksi matematika bahwa:
3 + 7 + 11 + ... + 4n-1 = 2n^2 + n
Pembuktian : Langsung, Tidak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika
Pembuktian Langsung
Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan.
Definisi
Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika
terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga
n = 2k.
Contoh 1:
6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga
6 = 2(3)
-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga
-4 = 2(3)
Definisi
Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika
terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga
n = 2k + 1.
Contoh 2:
3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga
3 = 2(1) + 1
-3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga
-3 = 2(-2) + 1
Contoh 3:
Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n
2
adalah ganjil
Jawab
Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan
bulat k sehingga n = 2k + 1.
Akan ditunjukkan bahwa n
2 ganjil.
n
2 = (2k + 1)2
= 4k
2 + 4k + 1
= 2(2k
2 + 2k) +1.
Perhatikan bahwa n
2 = 2(2k
2 + 2k) +1.
Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k
2 + 2k) juga pasti
bilangan bulat, sehingga n
2 adalah ganjil.
Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :1) Kontraposisi
Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p
Contoh : Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.
Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan
kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah
bilangan ganjil.
2) Kontradiksi
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh Soal :
1. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat ganjil,
q : n² bilangan bulat ganjil
Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat ganjil,
∼ q : n² bilangan bulat genap.
Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1, Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat genap. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
2. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat genap,
q : n² bilangan bulat genap
Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat genap,
∼ q : n² bilangan bulat ganjil.
Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k)² = 4k² = 2 (2k²), Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.
Contoh
Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.
Jawab
Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama”
Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari. Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu.
Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari. Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p (r -r).
Artinya p bernilai benar
Induksi Matematika
Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli.
Dalam pembuktian induksi matematika, ada 3 langkah yang ditempuh:
a. membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1
b. mengasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k
c. membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1
Contoh 1 :
buktikan dengan induksi matematika bahwa:
3 + 7 + 11 + ... + 4n-1 = 2n^2 + n
- n = 1, ganti semua nilai n
4n - 1 = 2n^2 + n
4.1 -1 = 2.1 + 1
4 - 1. = 2.1 + 1
3 = 3 (terbukti)
- anggap benar n = k
3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 = 2k^2 + k
- akan dibuktikan bahwa n = k+1
3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 = 2k^2 + k
3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 + 4(k+1) - 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)
Dari no.2 diketahui bahwa 3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 = 2k^2 + k, substitusikan
3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 + 4(k+1) - 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)
2k^2 + k
2k^2 + k + 4 (k+1) - 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)
2k^2 + 5k +3 = 2(k+1)^2 + (k+1)
kita mau buat bentuk k+1
2k^2 + 4k + k + 2 + 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)
2k^2 + 4k + 2 + (k+1) = 2(k+1)^2 + (k+1)
2(k^2 + 2k + 1) + (k+1) = 2(k+1)^2 + (k+1)
2(k+1)^2 + (k+1) = 2(k+1)^2 + (k+1) -> terbukti
Contoh 2 :
buktikan 7^n -1 habis dibagi 6
- n = 1
7^1 - 1 = 6
6 = 6 (terbukti)
- n = k
7^n - 1 = 6
7^k - 1 = 6p
7^k = 6p + 1
- n = k+1
7^n - 1
7^k+1 - 1
7.7^k - 1
7.(6p + 1) - 1
42p + 7 - 1
42p + 6 = 6 (7p + 1) -> terbukti
Daftar Pustaka:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar