Pembuktian : Langsung, Tak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini 

Kelas : XI IPS 2

Absen : 2

Pembuktian : Langsung, Tidak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika 

Pembuktian Langsung 

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan.

Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k. 

Contoh 1: 

6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga 

6 = 2(3)

-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga 

-4 = 2(3)

Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k + 1. 

Contoh 2: 

3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga

3 = 2(1) + 1 -3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga

-3 = 2(-2) + 1

Contoh 3:

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil

Jawab 

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1. 

Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil. 

n 2 = (2k + 1)2 

      = 4k 2 + 4k + 1 

      = 2(2k 2 + 2k) +1. 

Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1. 

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n 2 adalah ganjil.

Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :
1)        Kontraposisi
Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.
Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan
            kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2  bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah
bilangan ganjil.

2)      Kontradiksi
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh Soal :
1. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat ganjil,
q : n² bilangan bulat ganjil

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p     : n bilangan bulat ganjil,
∼ q : n² bilangan bulat genap.
Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n²  = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1,  Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :
n²  = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa  n² bilangan bulat genap.  Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.

2. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat genap,
q : n² bilangan bulat genap

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p     : n bilangan bulat genap,
∼ q : n² bilangan bulat ganjil.
Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n²  = (2k)² = 4k² = 2 (2k²),  Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :

n²  = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil.  Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.

Contoh 
Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari. 
Jawab 
Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama” 
Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari. Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu. 
Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari. Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p  (r  -r). 
Artinya p bernilai benar

Induksi Matematika
Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli. 
Dalam pembuktian induksi matematika, ada 3 langkah yang ditempuh:
a. membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1
b. mengasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k 
c. membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1

Contoh 1 :
buktikan dengan induksi matematika bahwa: 
3 + 7 + 11 + ... + 4n-1 = 2n^2 + n 

• n = 1, ganti semua nilai n

         4n - 1 = 2n^2 + n 

         4.1 -1 = 2.1 + 1

         4 - 1.  = 2.1 + 1

                3 = 3 (terbukti) 

• anggap benar n = k 

         3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 = 2k^2 + k 

• akan dibuktikan bahwa n = k+1

         3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 = 2k^2 + k 

         3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 + 4(k+1) - 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)

         Dari no.2 diketahui bahwa 3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 = 2k^2 + k, substitusikan 

         3 + 7 + 11 + ... + 4k-1 + 4(k+1) - 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)

                      2k^2 + k 

         2k^2 + k + 4 (k+1) - 1 = 2(k+1)^2 + (k+1)

         2k^2 + 5k +3               = 2(k+1)^2 + (k+1) 

         kita mau buat bentuk k+1

         2k^2 + 4k + k + 2 + 1 = 2(k+1)^2 + (k+1) 

         2k^2 + 4k + 2 + (k+1) = 2(k+1)^2 + (k+1) 

         2(k^2 + 2k + 1) + (k+1) = 2(k+1)^2 + (k+1) 

         2(k+1)^2 + (k+1)           = 2(k+1)^2 + (k+1) -> terbukti 

Contoh 2 :

buktikan 7^n -1 habis dibagi 6

• n = 1

          7^1 - 1 = 6

                   6 = 6 (terbukti)

• n = k 

          7^n - 1 = 6 

          7^k - 1 = 6p 

          7^k      = 6p + 1

• n = k+1

          7^n - 1 

          7^k+1 - 1

          7.7^k - 1 

          7.(6p + 1) - 1

          42p + 7 - 1 

          42p + 6 = 6 (7p + 1) -> terbukti 

Daftar Pustaka:

https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

LOGIKA MATEMATIKA

Nama: Ahista Larian Ibra Gavini 

Kelas: XI IPS 2

Absen: 2

Logika Matematika:

Logika matematika adalah gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa yunani kuno yaitu λόγος (logos), logos dapat diartikan sebagai hasil pertimbangan akal atau pikiran yang dinyatakan lewat kata atau bahasa. Sedangkan jika diartikan secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.

Logika matematika digunakan untuk menganalisis kasus atau sebagai media penarik kesimpulan.

Tahap logika antara lain pernyataan, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi,dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

Pernyataan: 

Pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.

contoh:

• 8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
• 4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
• 5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
• Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran/Negasi:

Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. 

Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

p	~p
B	S
S	B

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.

Contoh:

p : Semua murid lulus ujian

~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

Konjungsi (∧)

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar

Contoh:

Budi sudah makan belajar dan makan

Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa

Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

Implikasi (⟹)

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut 

p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p⇒q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Contoh:

Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah

Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”. Berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi:

p	q	p⇔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja

Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

Contoh Soal:

Soal No. 1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) Hari ini Jakarta banjir.

b) Kambing bisa terbang.

c) Didi anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Pembahasan

a) Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.

b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.

c) Tidak benar bahwa Didi anak bodoh

d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Atau boleh juga dengan format berikut:

a) Hari ini Jakarta tidak banjir.

b) Kambing tidak bisa terbang.

c) Didi bukan anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.

Soal No. 2

Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.

b) p : Semua jenis burung bisa terbang

c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.

Pembahasan

Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:

a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.

b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang

c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.

Soal No. 3

Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....

A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.

B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.

C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.

D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.

E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.

Pembahasan

p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap

~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap

Soal No. 4

Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):

a) p : Hari ini Jakarta hujan

    q : Hari ini Jakarta banjir

b) p : Iwan memakai topi

    q : Iwan memakai dasi

c) p : Mahesa  anak jenius.

    q : Mahesa anak pemalas.

Pembahasan

a) p : Hari ini Jakarta hujan

    q : Hari ini Jakarta banjir

p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir

b) p : Iwan memakai topi

    q : Iwan memakai dasi

p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi

c) p : Mahesa anak jenius.

    q : Mahesa anak pemalas.

p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas

Kata "dan"  bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan dengan pernyataan.

Soal No. 5

Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:

a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.

    q : Hari ini aliran listrik putus.

Nyatakan dengan kata-kata:

a) p ∧ q

b) p ∧ ~q

c) ~p ∧ q

d) ~p ∧ ~q

Pembahasan

a) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus

b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

c) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus

d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

Soal No. 6

Diberikan data:

Pernyataan p bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:

a) p ∧ q

b) p ∧ ~q

c) ~p ∧ q

d) ~p ∧ ~q

Pembahasan

Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

 

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.

Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:

p	q	~p	~q	p ∧ q	p ∧ ~q	~p ∧ q	~p ∧ ~q
S	B	B	S	S	S	B	S

Dari tabel di atas

a) p ∧ q bernilai salah

b) p ∧ ~q bernilai salah

c) ~p ∧ q bernilai benar

d) ~p ∧ ~q bernilai salah

Soal No. 7

Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):

a) p : Ibu memasak ayam goreng

   q : Ibu membeli soto babat di pasar

b) p : Pak Bambang mengajar matematika

   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

Pembahasan

a) p : Ibu memasak ayam goreng

   q : Ibu membeli soto babat di pasar

   p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.

b) p : Pak Bambang mengajar matematika

   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

   p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris

Soal No. 8

Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:

p	q
B	S

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:

a) p ∨ q

b) p ∨ ~q

c) ~p ∨ q

Pembahasan

Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:

.	p	q	p ∨ q
1	B	B	B
2	B	S	B
3	S	B	B
4	S	S	S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B

p	q	~p	~q
B	S	S	B

a) p ∨ q

p bernilai B, q bernilai S

Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)

b) p ∨ ~q

p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)

Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)

c) ~p ∨ q

~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S

Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)

Soal No. 9

Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...

A. Matematika mengasyikkan atau membosankan

B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan

C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan

E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan

Pembahasan

Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:

~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q

~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

p : Matematika tidak mengasyikkan

q : Matematika  membosankan

Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:

~p : Matematika mengasyikkan

~q : Matematika tidak membosankan

Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi

~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

Soal No. 10

Tentukan negasi dari pernyataan:

a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.

b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung

Pembahasan

Ingkaran (negasi) dari konjungsi.

a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.

Ingat:

~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q

Sehingga ingkarannya adalah:

Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.

b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung

Ingat:

~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q

Sehingga ingkarannya adalah:

Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung

Soal No. 11

Diberikan pernyataan:

p : Tahun ini kemarau panjang.

q : Tahun ini hasil padi meningkat.

Nyatakan dengan kata-kata:

a) p → q

b) ~p → ~q

c) p → ~q

Pembahasan

Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:

a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat

b) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

c) p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

Soal No. 12

Tentukan ingkaran dari pernyataan:

"Jika cuaca cerah maka maka Amir bermain sepakbola"

Pembahasan

Ingkaran dari sebuah implikasi  p → q adalah p dan ~q

~(p → q) ≅  p ∧ ~ q

sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Amir tidak bermain sepakbola"

Soal No. 13

Ingkaran dari pernyataan “Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali” adalah…

A. Beberapa pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali.

B. Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali.

C. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi tidak dapat beraktifitas kembali.

D. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi dapat beraktifitas kembali.

E. Semua pasien mengharapkan sehat juga dapat beraktifitas kembali.

Pembahasan

Negasi dari sebuah pernyataan.

Bentuk yang sering muncul adalah:

 

“Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali”

Pernyataannya dalam bentuk (p ∧ q) jadi ingkarannya adalah ~p ∨ ~q.

Terjemahannya dalam kalimat menjadi

“Beberapa pasien mengharap tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali”. Cari kalimat yang sama di pilihannya.

Soal No. 14

Perhatikan pernyataan berikut:

"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!

Pembahasan

Dari implikasi p → q

p : Cuaca mendung

q : Charli membawa payung

Konversnya adalah q → p

yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung"

Inversnya adalah ~p → ~q

yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung"

Kontraposisinya adalah ~q → ~p

yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"

Soal No. 15

Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar" adalah....

A. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak

B. jika tidak semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar

C. jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar

D. jika pembangunan berjalan lancar maka tidak semua warga negara membayar pajak

E. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka semua warga negara tidak membayar pajak

(Soal Ebtanas 1995)

Pembahasan

p : semua warga negara membayar pajak

q : pembangunan berjalan lancar

Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"

Soal No. 16

Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

Pembahasan

Modus Ponens

p → q

p

____

∴ q

Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

                     p                                q

Budi rajin berolahraga

              p

Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat

Soal No. 17

Tentukan kesimpulan dari :

Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola.

Premis 2 : Budi tidak bermain bola.

Pembahasan

p : Hari cerah

q : Budi bermain bola

Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollens

p → q

~q

___

∴ ~p

Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah "

Soal No. 18

Tentukan kesimpulan dari :

Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah.

Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.

Pembahasan

Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme

p → q

q → r

___

∴ p → r

Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ibu"

Soal No. 19

Diketahui pernyataan :

1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

3. Ani tidak memakai payung.

Kesimpulan yang sah adalah...

A. Hari panas.

B. Hari tidak panas.

C. Ani memakai topi.

D. Hari panas dan Ani memakai topi.

E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

Pembahasan

Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

Premis (3) Ani tidak memakai payung.

p : Hari panas

q : Ani memakai topi

r : Ani memakai payung

Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan premis (3)

Dari premis (1) dan (2)

Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

p → q

~q ∨ r

Ingat bentuk berikut:

~q ∨ r ekivalen dengan q → r

sehingga bentuk di atas menjadi :

p → q

q → r

___

∴ p → r      (Silogisme)

Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:

p→ r

~r

___

∴ ~p           (Modus Tollens)

Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas"

Soal No. 20

Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.

Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.

Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah…

A. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.

B. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.

C. Jika masyarakat membuang sampah tidak pada tempatnya maka lingkungan tidak akan bersih.

D. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan tidak bersih.

E. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan tidak bersih.

Pembahasan

Penarikan kesimpulan. Premisnya berpola silogisme:

 

Sehingga kesimpulannya adalah “Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.”

Soal No. 21

Diberikan pernyataan:

"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "

Buatlah dua buah pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas!

Pembahasan

Rumus:

 

Pernyataan yang setara dengan sebuah implikasi p → q

(i) dengan menggunakan format rumus p → q setara dengan ~p ∨ q

"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "

setara dengan

"Pemimpin tidak jujur atau rakyat tentram "

(ii) dengan memakai format rumus p → q setara dengan ~q → ~p

"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "

setara dengan

"Jika rakyat tidak tentram maka pemimpin tidak jujur "

Soal No. 22

Pernyataan yang setara dengan “jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah…

A. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.

B. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.

C. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.

D. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.

E. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.

Pembahasan

Seperti contoh di atas, dengan penggunaan format yang (i):

“Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik”

setara dengan

"Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik"

Jawaban: B