Barisan dan Deret Aritmatika

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2

Barisan dan Deret Aritmatika 

Barisan Aritmatika 

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut. 

Keterangan:
b = beda;
U_n= suku ke-n;
U_n+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.

Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.

Keterangan:

U_n+1= suku ke-(n +1);

U_n = suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

 

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:

U₁,  U₂,  U₃,  …,   U_n-2,   U_n-1,   U_n

 a,     a+b, a+2b,   …, a+n-3b,   a+n-2b,   a+n-1b

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan 

sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:

b’= beda barisan aritmetika baru;

b= beda barisan aritmetika lama;

k= banyak bilangan yang disisipkan;

n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan

n= banyak suku barisan aritmetika lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

Rumus suku ke-n

Keterangan:

a = suku awal (U1);

U_n= suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Contoh Soal 

1. Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 6 – 2 = 4

Ditanya: U₂₀ =…?

Pembahasan:

2. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya 

Jawab:


= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

3. Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 5

b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 

Deret Aritmatika 

Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmetika disebut dengan deret aritmetika.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut.

Substitusikan Un=a+(n-1) b, sehingga diperoleh:

Misalkan Sn-1= U₁ +U₂+ U₃+ … +U_n-1 dan S_n=U₁+U₂+ U₃+…+U_n-1+U_n. Ini berarti, hubungan antara S_n-1 dan U_n adalah sebagai berikut.

Contoh Soal :

1. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … +  adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

b = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 

2. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui 

Ditanya: 

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan  dan .

Sebelumnya mari ingat lagi bahwa  sehingga  dan  dapat ditulis menjadi 

 . . .(i)


 . . .(ii)

Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.

a + 2b = 24
a + 5b = 36   –
-3b = -12

b = 4

Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).

a + 2b = 24

a + 2 . 4 = 24

a + 8 = 24

        a= 24 – 8

        a = 16

Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari 

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660

3.  Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..

jawab : 

a = 3

b = U3 – U2 – 1

   = U3 – U2

   = 7 – 5

 = 2

Sn =  n (2a + (n-1)b)

     =  10 (2 (5) + (10-1)2)

     = 5 (6+9) 2

     = 120