Integral Tak Tentu Bersama Sifat-Sifatnya Beserta Contoh Soalnya

Assalamualaikum Wr.wb

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2 

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Integral secara sederhana yaitu invers (kebalikan) dari suatu turunan. Penjebaran lebih luasnya adalah sebuah konsep bentuk penjumlahan berkesinambungan dan bersama dengan inversnya.

Integral Tak Tentu adalah pengintegralan fungsi  apabila turunannya telah diketahui.

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus

Berikut ini Rumus dari Integral Tak Tentu

Keterangan

 = persamaan kurva
 = luasan di bawah kurva f`(x)
 = konstanta

Sifat

Pada integral tak tentu berlaku sifat berikut

Contoh

Berikut ini contoh dari Integral Tak Tentu

contoh soal pilihan ganda

1. Tentukan hasil dari ʃ 3x2 dx !

a. x3 + C.

b. x9 + C.

c. x6 + C.

d. x5 + C.

e. 2x3 + C.

Pembahasan : 

Jadi, hasil dari ʃ 3x2 dx adalah x3 + C.

Jawaban : A

2. Carilah hasil integral tak tentu dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx.

a. 2x – 2x3 + 2x2 – 2x + C

b. 2x4 – 2x6 + 2x2 – 2x + C

c. 2x4 – 2x3 + 2x2 – x + C

d. 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C

e. 2x + 2x3 + 2x2 – 2x + C

Pembahasan :

Jadi hasil dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx adalah 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C

Jawaban : D

3. Carilah nilai dari ʃ (3x-2)(x+6) dx

a. 3x3 + 8x2 – 12x + C.

b. x3 + 8x2 – 6x + C.

c. x3 + 8x2 – 12x + C.

d. x2 + 8x2 – 12x + C.

e. x3 + 4x2 – 12x + C.

Pembahasan : 

(3x-2)(x+6) = 3x2 + 18x – 2x -12 = 3x2 + 16x -12

Jadi, hasil dari ʃ (3x-2)(x+6) dx adalah x3 + 8x2 – 12x + C.

Jawaban : C

4. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

a. – 1/(6x) + C.

b. 1/(2x) + C.

c. – 1/(4x) + C.

d.  1/(3x) + C.

e. – 1/(3x) + C.

Pembahasan :

ʃ dx/(3x2) =  ʃ ⅓ x–2  dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

Jawaban : E

5. Tentukan nilai dari ʃ (4x+3)7 dx

a. -1/32  (2x+3)8 + C

b. 1/32  (4x+3)8 + C

c. -1/32  (4x+3)8 + C

d. 1/32  (4x+3)6 + C

e. 1/32  (2x+3)8 + C

Pembahasan : 

Jadi nilai dari ʃ (4x+3)7 dx adalah 1/32  (4x+3)8 + C

Jawaban : B 

Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2

Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan 

1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya 

$(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan : 

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

2. Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam 

$x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan : 

Misalkan f(x)menyatakan biaya proyek selama x hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

3. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam 

$x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$  

Pembahasan : 

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$
(Jawaban C)

4. Biaya untuk memproduksi 

$x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan : 

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan $$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

5. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling 

$(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$        

Pembahasan : 

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)

6. Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume ${\text{108 cm}}^3$, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $3$                       C. $6$                   E. $12$
B. $4$                       D. $8$ 

Pembahasan : 

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{array}{cc}V& =108\\ x\cdot x\cdot t& =108\\ x^2\cdot t& =108\\ t& =\frac{108}{x^2}\end{array}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =4(x\cdot t)+(x\cdot x)\\ & =4xt+x^2\\ & =4x\left(\frac{108}{x^2}\right)+x^2\\ & =432x^{-1}+x^2\end{array}$
Luas permukaan akan minimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -432x^{-2}+2x& =0\\ 2x& =432x^{-2}\\ x^3& =216\\ x& =\sqrt[3]{3216}=6\end{array}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $6\text{cm}$
(Jawaban C)

7. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi 

$h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

Pembahasan : 

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

8. Dari kawat yang panjangnya 

$500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan 75

Pembahasan : 

Misalkan $p=25\text{meter}$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{cc}V\left(t\right)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(t\right)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

9. Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas 

$96{\text{cm}}^2$ dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
A. $54{\text{cm}}^3$                          D. $84{\text{cm}}^3$
B. $64{\text{cm}}^3$                          E. $94{\text{cm}}^3$
C. $74{\text{cm}}^3$

Pembahasan : 

Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =2(pl+pt+lt)\\ 96& =2(x^2+tx+tx)\\ 48& =x^2+2tx\\ 2tx& =48-x^2\\ t& =\frac{48-x^2}{2x}\end{array}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =p\times l\times t\\ V\left(x\right)& =x\times x\times \frac{48-x^2}{2x}\\ V\left(x\right)& =24x–\frac{1}{2}{x}^3\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 24-\frac{3}{2}{x}^2& =0\\ \frac{3}{2}{x}^2& =24\\ x^2& =24\times \frac{2}{3}=16\\ x& =4\end{array}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$V\left(4\right)=24\left(4\right)-\frac{1}{2}(4{)}^3=96-32=64{\text{cm}}^3$
(Jawaban B)

10. Total penjualan suatu barang 

$\left(k\right)$ merupakan perkalian antara harga $\left(p\right)$ dan permintaan $\left(x\right)$ yang dinyatakan dengan $k=px$. Untuk $p=90-3x$ dalam jutaan rupiah dan $1\le x\le 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan : 

Diberikan $k=px$. Untuk $p=90-3x$, diperoleh
$k=(90-3x)x=-3x^2+90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\frac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}x}& =-6x+90\\ 0& =-6x+90\\ 6x& =90\\ x& =15\end{array}$
Nilai $x=15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k=-3x^2+90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}}=-3(15{)}^2+90(15)=675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)