Matriks, Macam-Macam Matriks, dan Operasi Matriks

  

Assalamualaikum Wr.Wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2) 

Kelas : XI IPS 2

Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan di dalam kurung biasa atau kurung siku. Bilangan-bilangan pembentuk matriks disebut elemen-elemen matrik

Ordo Matriks

Matriks terdiri dari unsur-unsur yang disusun secara baris dan kolom. Hal ini berarti juga bahwa pada matriks terdapat baris dan kolom. jika banyak baris suatu matriks = m, dan banyak kolomnya = n, maka matriksnya disebut berordo atau berukuran m x n. 

Notasi Matriks

Sebuah matriks diberi nama dengan huruf besar, misalnya A, B, C dan lain-lainnya. sedangkan elemen-elemennya dinotasikan dengan huruf kecil yang sesuai dengan nama matriksnya. 

Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom 

    Suatu matriks disebut matriks baris jika hanya mempunyai satu baris saja. Suatu matriks

    disebut matriks kolom jika hanya mempunyai satu kolom saja 

    Contoh :

    A = ( 2 3 4 ) dan B = ( p q ) adalah matriks baris

b

      adalah matriks kolom 

2. Matriks Persegi

    Matriks yang banyak baris dan banyak kolom sama disebut matriks persegi atau bujur            sangkar.

    Contoh :

      adalah matriks persegi berordo 3x3 

     adalah matriks persegi berordo 2x2 

3. Matriks Segitiga

    Matriks segitiga adalah matriks dengan ordo sama lebih dari 2 yang bagian atas atau             bawahnya berbentuk segitiga.

    Contoh :

     adalah matriks segitiga atas

     adalah matriks segitiga bawah 

4. Matriks Diagonal

    Matriks diagonal adalah matriks dengan ordo sama, yang memiliki bilangan ≠ 0 pada

    bagian diagonal.

    Contoh :

    atau 

5. Matriks Skalar

    Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama nya            bernilai sama

    Contoh :

     atau 

6. Matriks Identitas 

    Matriks identitas adalah matriks scalar yang bilangannya semua 1

    Contoh :

     atau 

7. Transpose Matriks 

    Transpose matriks adalah pengubahan posisi baris menjadi kolom dan sebaliknya                Lambang transpose adalah AT

    Contoh :

     ditranspose menjadi .

      

8. Matriks Simetri 

    Matriks simetri adalah matriks transpose dengan ordo kembar yang angkanya semua sama     dengan matriks semula, meski posisi baris dan kolom dirubah.

    Contoh : 

     

    Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2,     dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Operasi Matriks

Penjumlahan Matriks :  

    

    Hasil dari A + B dapat diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A yang seposisi             dengan setiap elemen matriks B.

Pengurangan Matriks : 

Hasil dari A - B dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B. 

Perkalian Matriks :

Jadi, a11 akan dikalikan dengan b11, a12 dikalikan dengan b21, a21 dikalikan dengan b11, dan a22 dikalikan dengan b21.

Lalu, jumlahkan hasil kali elemen-elemennya menjadi seperti ini:

Sehingga, hasil kali matriks A dengan matriks B adalah sebagai berikut:

 

Soal Cerita untuk Menentukan Nilai Optimum

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini 

Kelas : XI IPS 2

Absen : 2

SOAL CERITA : 

Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak ….

Jawab : 

Maka, laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak Rp 140.000

Soal Cerita untuk Menentukan Nilai Optimum

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini 

Kelas : XI IPS 2

Absen : 2

SOAL CERITA 

1. Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak 240 orang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi sebanyak 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat mengangkut bagasi seberat 7.200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama adalah Rp 100.000,00 dan sebuah tiket kelas ekonomi adalah Rp 75.000,00. Berapa banyak masing-masing jenis penumpang agar pengusaha kapal memperoleh pendapatan maksimum? 

 Jawab : 

2.  Luas daerah tempat parkir adalah 18.000 m². Luas rata-rata untuk sebuah mobil 6 m² dan untuk sebuah bis 24 m². Tempat parkir ini hanya dapat menampung 1.500 kendaraan. biaya parkir untuk satu mobil Rp 1.000,00 dan untuk satu bis Rp 1.500,00. Berapa banyak masing-masing jenis kendaraan yang diparkir agar diperoleh pendapatan sebesar-besarnya?

Jawab : 

Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2)

Kelas : XI IPS 2 

Gambar daerah bersih atau daerah kotor program linear dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12 , 5x + 3y < 19 , x ≥ 0, y ≥ 0 

PROGRAM LINEAR

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini

Kelas : XI IPS 2

PROGRAM LINEAR 

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

MODEL MATEMATIKA PROGRAM LINEAR 

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF 

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
• Menggunakan garis selidik
• Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

MENGGUNAKAN GARIS SELIDIK 

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

 

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

MEMBANDINGKAN NILAI FUNGSI TIAP TITIK EKSTRIM 

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

• langkah 1 menggambar grafik nya

• Langkah 2 menentukan titik ekstrim 

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

• Langkah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

• B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42
• C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42
• D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 5x + 2y \le 1.250
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• B(x_B, y_B) dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg

Contoh Soal 4 : 

Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. tahun

A. 86 

B. 74 

C. 68 

D. 64

E. 58

Jawaban : C

Pembahasan : 

Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z

x = 28 + y (1)

z = x – 6; atau x=z+6 (2)

x + y + z = 119 (3)

dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan

2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34 (4)

Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau

x + y + z = 119

2x – y – z = 34

3x =153

Atau

x = 51

Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan

Y = 23; z = 45

Sehingga

jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y+z=23+45=68

2. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

5x + y ≥ 10

2x + y ≤ 8

        y ≥ 2

ditunjukkan oleh daerah . . .

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. V

Jawaban : C

Contoh Soal 5

Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.

Pembahasan

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.

Contoh Soal 6 

Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Pembahasan

Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.

3. Diketahui sebuah persamaan x + y = 10 dan diberikan sebuah fungsi seperti di bawah ini

{(x,y)| x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}

Contoh Soal 7

Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10

Pembahasan

Pertama, kita harus menuliskan semua fungsi yang ada secara benar seperti contoh di bawah ini.

x ≥ 0

y ≥ 0

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a

Kemudian, lakukan penjumlahan dari dua fungsi di atas.

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a    +

5x + 5y ≤ 8 + a

5 (x + y) ≤ 8 + a

5 (10) ≤ 8 + a

50 – 8 ≤ a

42 ≤ a

Sehingga, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimum x + y = 10.

Contoh Soal 8

Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.

Pembahasan

Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.

Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400

Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250

x ≤ 0 ; y ≤ 0

Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.

·       Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur

·       Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan

·       Titik 2 ( xb, yb ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.

5x + 2y ≤ 1250

x + y ≤ 400 |x2   –

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800    –

3x ≤ 450

Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.

daftar pusaka:

https://www.studiobelajar.com/program-linear/

https://rumuspintar.com/program-linear/