Pengertian Turunan dan Sifat - Sifatnya Bersama Contoh Soalnya

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Ahista Larian Ibra Gavini (2)

Kelas : XI IPS 2

Pengertian Turunan dan Sifat - Sifatnya Bersama Contoh Soalnya

A. Pengertian 

Turunan atau disebut juga seabagai Deriviatif merupakan suatu pengukuran kepada bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan akan menyatakan bagaimanakah sebuah besaran berubah akibat adanya perubahan besaran yang lainnya.

Sebagai contoh: turunan dari posisi suatu benda yang kemudian bergerak terhadap waktu merupakan kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

B. Sifat - Sifat Turunan 

Jika diketahui k suatu konstanta, u = u(x),  v = v(x) dan masing-masing mempunyai turunan u'(x) dan v'(x), maka berlaku:
1. f(x) = u + v,   maka f'(x) = u' + v'
2. f(x)= u - v,  maka f'(x) = u' - v'
3. f(x) = uv, maka f'(x) = u'v + uv'
4. f(x) = f(u), maka f'(x) = f'(u). u'
5. f(x) = u/v, maka f'(x) = (u'v - uv')/v2

6. f(x) = c, maka f’(x) = 0 

7. f(x) = cx, maka f’(x) = cx

C. Contoh Soal

1.    f(x) = x3 + x2

Jawab = f’ (x) = 3x3-1 + 2x2-1

             = 3x2 + 2x

2.  F(x) = (x + 2)/(3x – 4)

Jawab =    F(x) = (x + 2)/(3x – 4)

Misalkan u = x + 5,    maka u’ = 1 dan  v = 3x – 4, maka v’ = 3

3. F(x) = (x2 + 1)/(x2 – 1)

Jawab = F(x) = (x2 + 1)/(x2 – 1)

      Misalkan u = x2 + 1,    maka u’ = 2x

      dan  v = x2 – 1, maka v’ = 2x

4. f(x) = 2 

Jawab = f’(x) = 0

5. f(x) = 5x 

Jawab = f’(x) = 5

Sifat-Sifat Limit dan Contoh Soalnya Serta Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Limit

Assalamualaikum wr.wb 

Ahista Larian Ibra Gavini (2) XI IPS 2

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c
2. lim _x →a  xⁿ = aⁿ
3. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
4. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)
5. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
6. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
7. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
8. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

1. Contoh sifat lim _x →a c = c

Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :

lim _x →2 7 = 7

Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :

lim _x →2 x³ = 2³

lim _x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)

lim _x →2 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2 

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x→a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2 

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x→a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2 

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x→a g(x)), maka :

lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶

lim _x →2²√x⁴ = 4

1. Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan p(t)=√12t2−3t+5dengan p(t) dalam persen dan t dalam tahun. Pertumbuhan penduduk mendekati tahun kelima (t=5) adalah ⋯%.

Pembahasan:

Secara matematis, angka pertumbuhan penduduk saat t mendekati tahun ke-5 adalah limt→5p(t).
Diketahui p(t)=√12t2−3t+5.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
limt→5√12t2−3t+5=√12(5)2−3(5)+5=√252−10=√12,5−10=√2,5
Jadi, angka pertumbuhan penduduk akan mendekati √2,5%

 2.Diketahui limx→af(x)=m. Jika f(x)=2x, maka nilai dari limx→af(x2−1)=⋯⋅

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan sesaat (instantaenous velocity) yang dirumuskan dengan v(t)=t2−t dengan v(t) dalam meter dan t dalam detik. Jika t mendekati 5 detik, maka kecepatan mobil tersebut adalah ⋯ m/detik.
A. 10                  C. 15                E. 25
B. 12                  D. 20

Pembahasan

Secara matematis, kecepatan mobil saat t mendekati detik ke-5 adalah limx→5v(t).
Diketahui v(t)=t2−t.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
limx→5(t2−t)=(5)2−(5)=25−5=20
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati 20 m/detik.