Sifat-Sifat Limit dan Contoh Soalnya Serta Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Limit

Assalamualaikum wr.wb 

Ahista Larian Ibra Gavini (2) XI IPS 2

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c
2. lim _x →a  xⁿ = aⁿ
3. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
4. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)
5. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
6. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
7. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
8. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

1. Contoh sifat lim _x →a c = c

Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :

lim _x →2 7 = 7

Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :

lim _x →2 x³ = 2³

lim _x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)

lim _x →2 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2 

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x→a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2 

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x→a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2 

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x→a g(x)), maka :

lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶

lim _x →2²√x⁴ = 4

1. Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan p(t)=√12t2−3t+5dengan p(t) dalam persen dan t dalam tahun. Pertumbuhan penduduk mendekati tahun kelima (t=5) adalah ⋯%.

Pembahasan:

Secara matematis, angka pertumbuhan penduduk saat t mendekati tahun ke-5 adalah limt→5p(t).
Diketahui p(t)=√12t2−3t+5.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
limt→5√12t2−3t+5=√12(5)2−3(5)+5=√252−10=√12,5−10=√2,5
Jadi, angka pertumbuhan penduduk akan mendekati √2,5%

 2.Diketahui limx→af(x)=m. Jika f(x)=2x, maka nilai dari limx→af(x2−1)=⋯⋅

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan sesaat (instantaenous velocity) yang dirumuskan dengan v(t)=t2−t dengan v(t) dalam meter dan t dalam detik. Jika t mendekati 5 detik, maka kecepatan mobil tersebut adalah ⋯ m/detik.
A. 10                  C. 15                E. 25
B. 12                  D. 20

Pembahasan

Secara matematis, kecepatan mobil saat t mendekati detik ke-5 adalah limx→5v(t).
Diketahui v(t)=t2−t.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
limx→5(t2−t)=(5)2−(5)=25−5=20
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati 20 m/detik.